Analisi delle forze
Consideriamo una palla che viene lanciata su una pista da bowling con una certa velocità iniziale \(v_0\).
Sulla palla agiscono sostanzialmente tre forze:
- Forza peso: essa agisce nel suo centro di massa vista la presenza del corpo stesso sulla superficie della Terra;
- Reazione vincolare: ricordiamo che la pista da bowling deve reggere il peso della palla, dunque in questo caso reagisce con una forza uguale e opposta al suo peso;
- Forza di attrito dinamico: questa è la forza fondamentale per il moto stesso. E’ dovuta allo strisciamento iniziale che la palla effettua rispetto alla pista.
Le forze, per una questione di chiarezza, vengono schematizzate nella seguente immagine:
$$ \diamond\diamond\diamond $$
Leggi fisiche che intervengono
La palla da bowling è a tutti gli effetti un corpo rigido, dunque è necessario applicare le due equazioni cardinali della dinamica. La prima equazione cardinale ci fornisce una analisi dettagliata della traslazione effettuata dalla palla. In particolare ci dice che la somma di tutte le forze esterne ,che agiscono sulla palla, accelerano il suo centro di massa. In formule:
$$ F^{tot}{est}=Ma{cm} $$
Bisogna scomporre lungo gli assi questa equazione.
Lungo l’asse y non vi è moto, dunque l’accelerazione è nulla
$$ Lungo \hspace{3mm}y:\hspace{5mm} R_n-P=0 $$
Da qui ricaviamo una relazione già citata in precedenza, cioè:
$$ R_n=P=Mg $$
Lungo l’asse x invece abbiamo l’accelerazione responsabile della traslazione
$$ Lungo \hspace{3mm}x:\hspace{5mm} -A_d=Ma_{cm} $$
Da qui ricaviamo che
$$ \frac{-A_d}{M}=a_{cm} $$
Sappiamo che l’attrito dinamico è dato dalla seguente espressione
$$ A_d=\mu_dMg $$
L’accelerazione del centro di massa della palla da bowling è in definitiva
$$ a_{cm}=-\frac{-\mu_dMg}{M}=-\mu_dg $$
Ma come varia la velocità della palla nel tempo? Questa dipende dalla velocità iniziale di lancio e dalla sua accelerazione,
in quanto stiamo parlando di moto rettilineo uniformemente accelerato.
$$ v_{traslazione}=v_0-\mu_dgt $$
La seconda equazione cardinale invece si occupa della rotazione della palla da bowling. In particolare ci dice che la somma di tutti i momenti delle forze esterne provoca una accelerazione angolare della palla stessa. In formule:
$$ M^{tot}{est}=I{cm}\alpha $$
Dove \(I_{cm}\) è il momento di inerzia della palla rispetto al centro di massa.
Sviluppiamo la formula
$$ M_P+M_{R_n}+M_{A_d}=I_{cm}\alpha $$
I momenti vengono calcolati scegliendo come polo il centro di massa, dunque
il momento della forza peso è nullo perchè è applicata nel centro di massa e anche il momento della reazione vincolare è nullo, però stavolta è dovuto al fatto che la retta di azione della forza passa per il centro di massa.
L’unico momento che accelera angolarmente la palla è quello dell’attrito, dunque
$$ M_{A_d}=I_{cm}\alpha $$
Il momento della forza d’attrito è pari alla forza per il suo braccio, ricordando inoltre che assumiamo come rotazioni positive quelle orarie
$$ A_d\cdot r=I_{cm}\alpha $$
Dove \(r\) è il raggio della sfera assimilabile come la palla da bowling.
Ricaviamo dunque l’accelerazione della palla
$$ \alpha=\frac{A_dr}{I_{cm}}=\frac{\mu Mgr}{I_{cm}} $$
Facendo l’integrale di questa relazione otteniamo la velocità angolare della palla nel tempo
$$ w=w_{0}+\alpha t $$
In realtà la (w_0) è nulla perchè inizialmente non si imprime nessuna rotazione. Moltiplicando per il raggio della palla questa relazione otteniamo la velocità di rotazione
$$ v_{rotazione}=wr=\frac{mr^2}{I_{cm}}\cdot \mu_d gt $$
$$ v_{rotazione}=wr=\frac{mr^2}{I_{cm}}\cdot \mu_d gt $$
$$ v_{rot}=wr=\frac{mr^2}{I_{cm}} \cdot\mu_d gt $$
$$ \diamond\diamond\diamond $$
Soluzione del problema
Adesso abbiamo tutti gli ingredienti per formulare la soluzione del problema.
L’attrito dinamico in questo caso ha un ruolo fondamentale. Cerca di evitare il più possibile strisciamenti della palla da bowling…
Ma come ci riesce?
Nel tempo la sua funzione è quella di aumentare la velocità di rotazione e diminuire quella di traslazione, finchè in un certo istante di tempo, queste due velocità coincidono, innescando finalmente la condizione di rotolamento della palla da bowling.
Quanto tempo impiega l’attrito ad innescare il rotolamento della palla?
Come detto poco fa, il rotolamento si innesca quando nel punto di contatto tra palla e pista, le due velocità sono uguali, dunque
$$ v_{rotazione}=v_{traslazione} $$
$$ \frac{mr^2}{I_{cm}}\cdot \mu_d gt=v_0-\mu_dgt $$
Da qui ricaviamo il tempo necessario per fare tale operazione
$$ t_{rotolamento}=\frac{v_0}{\mu_dg}\cdot\left(\frac{I_{cm}}{I_{cm}+mr^2}\right) $$
$$ t_{rotolamento}=\frac{v_0}{\mu_dg}\cdot\left(\frac{I_{cm}}{I_{cm}+mr^2}\right) $$
$$ t_{rot}=\frac{v_0}{\mu_dg}\cdot\left(\frac{I_{cm}}{I_{cm}+mr^2}\right) $$
Una volta stabilito il rotolamento si instaura una velocità comune costante nel tempo. Quello che poi ferma il rotolamento sono altri attriti come quello volvente e dell’aria.
$$ \diamond\diamond\diamond $$
Considerazioni finali
Dalla formula capiamo tante cose, infatti, come ci suggerisce l’intuito, lo strisciamento dura di più se la velocità iniziale è alta.
Inoltre maggiore è l’attrito e meno tempo impiega ad instaurare il rotolamento. Nella parentesi tonda vi è un termine che dipende dal momento di inerzia della palla, una sorta di inerzia alla rotazione.
Il problema della formula sta proprio nel momento di inerzia, infatti non è noto il suo valore per una palla da bowling. Se si approssima ad una sfera piena potete procedere con il calcolo vero e proprio.
Questo articolo, almeno spero, mette in luce una cosa importante. Spesso l’intuito viene confermato dalle leggi della fisica che sono molto più dettagliate e precise.
L’esperienza comune ci dice proprio che quando lanciamo una palla da bowling si ha inizialmente una fase di strisciamento, accompagnata da una fase di rotolamento.
