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Il paradosso dei due bambini

Il paradosso dei due bambini

Venne proposto da Martin Gardner sulle pagine del Scientific American. La formulazione è la seguente: Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi? Ad una risposta contraria alla "logica comune"

Venne proposto da Martin Gardner
sulle pagine del Scientific American. La formulazione è la seguente:
Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?

Intuitivamente, visto che uno dei due è maschio,
la probabilità che l’altro sia maschio è del 50%, in quanto sappiamo bene che una persona può essere o maschio o femmina.

Questa risposta ovviamente è errata. Come fece notare l’autore stesso, il quesito è posto in maniera ambigua. La risposta esatta infatti risulta del 33.3%.

$$ \diamond\diamond\diamond $$

Prendiamo due bambini qualsiasi. E’ facile convincersi che si
possono verificare quattro casi:

Caso 1 : entrambi i bambini sono femmina;

Caso 2 : il primo bambino è maschio, il secondo femmina;

Caso 3 : il primo bambino è femmina, il secondo maschio;

Caso 4 : entrambi i bambini sono maschi


nasconde una ambiguità, che porta
ad una risposta contraria alla “logica comune”

La prima ipotesi, entrambe femmine, nel nostro quesito non si può considerare, in quanto almeno uno dei due è maschio.

Sono rimaste dunque tre possibilità. L’unica che ci interessa è proprio quella dove abbiamo entrambi maschio, cioè il caso 4.

Abbiamo tre casi possibili e un solo caso risulta favorevole. La probabilità è dunque del 33.3%, cioè \(\frac{1}{3}\).

Un’altra formulazione….

Esiste una formulazione del problema dove invece la probabilità risulta proprio del 50%?. Ovviamente si!

Il signor Smith ha due bambini. Il primo è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?

In questo caso, dei quattro scenari trattati prima, solo il secondo e il quarto sono validi, cioè dove il primo bambino è maschio. Abbiamo dunque
due casi possibili e uno solo favorevole. Magicamente, adesso, la probabilità è del 50%.

Questo paradosso ci fa capire che molto spesso l’inganno sta proprio nell’esposizione del problema. Abbiamo visto infatti
che basta cambiare una semplice parola per cambiare totalmente il risultato finale.

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