La Bottiglia di Klein

Il più delle volte geometria o matematica, non fanno differenza, anzi è proprio sbagliato separarle,
anche perchè di “matematiche” ne abbiamo diverse. Qui entriamo in un nuovo settore, che si chiama Topologia
“studio dei luoghi”, cos’è che facciamo più in particolare? Studiamo gli enti matematici, palle, superfici, linee, iperspazi e chi ne ha più ne metta,
solo che quì non valgono più le classiche regole della distanza geometrica, quì una ciambella ed una tazza sono topologicamente equivalenti,
così come una sfera ed un ellissoide… quali altre diavolerie si nascondono dietro l’angolo?

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Quella di cui vi voglio parlare adesso si chiama la “Bottiglia di Klein” ed è una cosa assi strana a prima vista. La scopri il matematico tedesco Felix Klein nel 1882 da cui ne prese il nome.

Stranezze topologiche

Cos’ha di speciale? L’immagine dovrebbe dirvi tutto. Osservate la figura. Vedete che la klein’s bottle sembra aggrovigliarsi su se stessa ed intersecarsi in un modo misterioso; ma il perché di questo fatto è triviale. Si tratta di una superficie chiusa ad una singola faccia immersa in uno spazio a (3) dimensioni,
per dirla da bar, nel nostro spazio la bottiglia è un pesce fuor d’acqua, non è a casa sua…

Se infatti la vedessimo nel suo mondo originale quadridimenionale sicuramente non sarebbe la stessa…
il fatto di vederla nel nostro spazio 3D provoca l’intersezione su se stessa ed il “groviglio capriccioso che la rende unica” mi immagino come vi cimentereste a costruirne una,
senza usare le stampanti 3D.Ritornando al discorso del perchè ha una forma così strana il paragone è lo stesso che trovate nel libro Flatland quando
la sfera incontra il mondo delle figure piatte ed il quadrato vede solo l’’’intersezione della sfera col suo mondo nella forma di un segmento invece che di un oggetto 3D,
anche noi, non vediamo un oggetto quadridimensionale, ma solo un ingarbugliata superficie con un’intersezione che provoca strani comportamenti.

L’immersone nello spazio (3D) ha provocato l’intersezione su una parte della superficie, cosa che non accadrebbe se riportassimo la bottiglia nello spazio a (4) dimensioni.

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Ma cosa accade se proviamo a praticare un taglio simmetrico della bottiglia di Klein? Un fatto straordinario che rivela la bellezza intrinseca della matematica.
Quello che accade è che otteniamo (2) nastri di Moebius, che a differenza della suddetta klein’s bottle, sono l’esempio più semplice possibile di superfice non orientabile a singola faccia.

Ora vi lascio con la sfida della costruzione della vostra Klein’s Bottle