Logaritmi e decibel

La questione sembra circondata dal mistero. Spesso si intuisce il concetto ma non lo si apprezza a fondo, spesso
non è chiaro o lo è solo in parte e questo porta a la non comprensione profonda di cosa si sta facendo;
o a cosa ci si riferisce; e quando poi si ha a che fare con i tecnicismi, si combinano i pasticci.

Ma perché è cosi poco comprensibile la questione?
La risposta è triviale: Dietro al concetto di decibel c’è il “logaritmo“.

Logaritmi

Quando si parla di decibel in un modo o nell’altro bisogna fare un incontro con la matematica e con i logaritmi, che io so, adorate tantissimo!
Allora entriamo un pò nel tecnico e cerchiamo di iniziare a padroneggiarli. Una volta compresi, il decibel sarà un gioco da ragazzi.

$$\clubsuit\clubsuit \clubsuit $$

Un logaritmo è sostanzialmente un esponente, ossia un numero che indica quante
volte bisogna moltiplicare per se stessa una base data per ottenere un altro numero assegnato.

Allora qual è la differenza con una potenza elementare? In questo caso è proprio l’esponente ad essere incognito, mentre sono noti la base e il risultato.

Ora senza entrare nei dettagli delle funzioni, mi serve introdurre l’esponenziale.
La funzione esponenziale è quella che, dato un numero fissato \(a\), associa ad ogni numero \(x\) il numero \(a^x\).

Una funzione è sostanzialmente una relazione di corrispondenza tra due insiemi detti dominio e codominio, dove ad ogni elemento del primo ne corrisponde uno del secondo.
Così ad esempio la funzione “età” farà corrispondere a ciascun individuo il numero di anni, ad ogni auto il numero della targa, etc.
Le funzioni che ci interessano qui, associano uno ed un solo oggetto, che per semplicità
chiamerò “immagine” (output), come nell’uso comune.

Nel nostro caso, le funzioni di cui ci occupiamo associano un numero ad un altro numero, e questi numeri saranno numeri “reali”:
questo termine sta a significare che oltre a numeri del tipo ( 1, -6, 10, 1729) avremo anche i numeri del tipo ({2 \over 3} ), ({1 \over 163} ), (-{4 \over 10} )
(le cosiddette “frazioni“) e anche numeri che non si possono esprimere ne nell’uno ne nell’altro modo, ossia numeri “irrazionali“
(appunto perché inesprimibili in un modo “razionale”) come \( \sqrt 2 \) o anche \( \pi \) che come sappiamo
è uguale ad uno sviluppo infinito di cui possiamo solo elencare le prime cifre fino ad un certo limite,
ad esempio \(3.14159265358979323846264…\) e così via

Detto questo, che per noi è sufficiente, andiamo ad occuparci ora della funzione esponenziale
in una forma molto particolare: quella in cui il numero \(a\) è uguale a \(10\).

Avremo allora la funzione esponenziale cosiddetta “in base dieci” che è quella che ad ogni numero \(x\) associa il numero \(10^x\).

Ora la domanda che vi sarete posti sicuramente e:

Perché mi sono soffermato tanto sull’esponenziale?
E’ banale: perché il logaritmo ne è esattamente la funzione inversa, ed il logaritmo in base dieci,
è proprio quello impiegato per definire i decibel, (esattamente l’inverso dell’esponenziale in base dieci).

Dato un numero reale non negativo \(x\), esiste uno ed un solo numero \(y\) tale che \(10^y = x\).
Tale numero si chiama logaritmo di \(x\) in base \(10\) e si indica col simbolo \(log_{10}(x) \),
oppure semplicemente \(log(x)\) o anche \( log(x)\).

$$ log_{10}(x) = y \iff 10^y = x $$

Quindi, quando cerchiamo il logaritmo in base dieci di un numero reale positivo – attenzione,
questa è l’unica condizione – stiamo semplicemente cercando un numero che, dato come esponente a (10), ci dia come risultato proprio il numero di partenza.

Vediamo un paio di esempi chiarificatori:

• \( log_{10}(100) = 2 \iff 10^2 = 100 \)
• \( log_{10}(1000) = 2 \iff 10^3 = 1000 \)
• \( log_{10}(10000) = 2 \iff 10^4 = 10000 \)

Osservate come in questo caso il logaritmo corrisponde al numero di zeri che seguono l’ \( 1\)

$$ log_{2}(32) = 5 \iff 2^5 = 32 $$
$$ log_{1\over 2}({1 \over 8}) = 3 \iff {1 \over 2}^3 = {1\over 8} $$

$$\clubsuit\clubsuit \clubsuit $$

Proprietà dei logaritmi

Come accade per ogni concetto matematico, possiamo sviluppare un’algebra tra enti – ossia un insieme di regole consistenti per poter operare
facilmente nelle espressioni che coinvolgono questi enti. Per i logaritmi valgono \(4\) proprietà fondamentali che vi elenco di seguito:

$$\clubsuit\clubsuit \clubsuit $$

Decibels

In generale per un’onda o per un qualunque segnale ondoso il decibel è una misura “logaritmica” di diverse caratteristiche come ad esempio l’intensità.
Consideriamo ad esempio un onda acustica.
Tra le prime questioni che bisogna affrontare quando ci si occupa del suono come fenomeno fisico c’è quella di calcolarne il modulo (l’intensità per l’appunto).
Nel parlare quotidiano si parla in modo vago e spesso impreciso di “volume” più o meno alto, o di suoni più o meno “forti”.
Questo va bene sul piano prettamente intuitivo,
ma noi abbiamo invece bisogno di una misura precisa con la quale confrontare suoni differenti.

Bel e logaritmi

uno strumento indispensabile nel calcolo dei livelli sonori è il logaritmo
causa del modo particolarmente complesso in cui l’essere umano percepisce il suono. Tutto parte dal concetto di Bel, la vecchia unità di misura.

Una grandezza \( X\) espressa in bel è sostanzialmente il logaritmo (in base \(10\) )
del rapporto di questa grandezza fratto una grandezza di riferimento\( X_0\).

$$ X_{Bel} = log\left( {X \over X_0} \right) $$

Perché il logaritmo? Non si può considerare direttamente il rapporto.
La scelta del logaritmo è una questione di convenienza e semplificazione. Infatti il logaritmo ha la proprietà di compattare l’intervallo \([1, \infty]\) ed estendere
l ‘intervallo ([0, 1]). Serve sostanzialmente a descrivere grandi variazioni.
Agisce come una lente d’ingrandimento tra \(0\) ed \(1\) e come un grandangolo tra \(1\) e infinito.

Da notare che il calcolo è effettuato sempre rispetto ad una certa potenza di riferimento, e questo dipende dalla natura stessa della definizione; inoltre l’orecchio umano percepisce ampi spettri quindi non è sensibile a variazioni lineari ma esponenziali.
Non è possibile calcolare altrimenti un livello acustico. Andrà perciò stabilito, di volta in volta, qual è la potenza di riferimento,
o la pressione di riferimento.
Vedremo poi che nella pratica si utilizzano come potenze o pressioni di riferimento
quelle relative ai suoni di minore intensità udibili dall’uomo.

Una volta capito cos’è il bel come già detto per ottenere il decibel bisogna moltiplicare per 10,
infatti, deci-bel (decimo di bel).

$$ X_{dB} = 10\cdot log\left( {X \over X_0} \right) $$

questa quantità si indica (dB)

Un decibel è pari alla decima parte di un bel.

$$ dB = {1 \over 10} Bel \iff Bel = 10 dB $$

La definizione sopra adottata si riferisce all’intensità di un segnale. La definizione tuttavia (senza perdita di generalità) può essere riformulata in altri contesti. In fisica, ingegneria ed elettrotecnica i rapporti sono quasi sempre espressi in energie o potenze
in questi casi non si intende il rapporto fra le grandezze stesse, ma fra le potenze che le tensioni o le correnti svilupperebbero se applicate a una medesima impedenza.
stesso discorso nel contesto audio,
quando si parla di pressioni acustiche, siccome dalla fisica si sa che una potenza
è proporzionale al quadrato della pressione sonora, si ha che:

$$ X_{dB} = 10 log\left( {p^2 \over p_0^2} \right) =
10log\left( \bigl({p \over p_0}\bigr)^2 \right) = 20log\left( {p \over p_0} \right)$$

Questa definizione spesso è usata per la misura dei livelli di pressione sonora
(sound pressure level) o decibel SPL

$$ X_{dB_{SPL}} = 20log\left( {X \over X_0} \right) $$

$$ \diamond $$

Calcolo della potenza acustica dalla distanza della sorgente

Come conclusione facciamo un’applicazione dei concetti esposti. Vogliamo calcolare il livello di pressione sonora conoscendo la distanza dalla sorgente e la pressione alla sorgente. Supponiamo che un altoparlante generi una potenza acustica di \( (P)dB_{SPL}\). Se ci spostiamo ad una distanza \( d\) dall’ altoparlante quant’è la potenza percepita? Per rispondere a questa domanda dobbiamo fare un pò di conticini. Vediamo subito come:

Partiamo da quello che già sappiamo e vediamo di ricavare una formula esatta.
Ricordando le definizioni di livello di pressione sonora e la nota proporzionalità tra intensità e pressioni possiamo scrivere che:

Quindi se ad esempio se un altoparlante diffonde un suono di
\(80dB_{SPL} \), la pressione sonora che udiremo a \(10\) metri applicando la formula sarà:

A \( 20\) metri:

Ad ogni modo, tutto sarà più chiaro e dettagliato nel manuale (ancora in fase di scrittura)
e nel corso online cui vi lasci il link di seguito: bye