La misura della massa della terra

Eratostene e il raggio della Terra

Eratostene, nato a Cirene, era una persona molto intelligente. Riuscì, utilizzando la geometria, a misurare la circonferenza della Terra. Egli era a conoscenza di un fatto incredibile. A Siene, una città dell’antico Egitto, a mezzogiorno del solstizio d’estate, il Sole illumina il fondo dei pozzi. Questo significa che i raggi solari cadono perpendicolarmente alla città.

Un bastone piantato verticalmente a terra non proietta alcuna ombra. Nello stesso giorno fece la stessa misura ad una città a nord di Siene, sullo stesso meridiano, cioè Alessandria. Questa volta la direzione dei raggi solari formavano un angolo di circa 7 gradi con la verticale.

Da una considerazione di tipo geometrico, questo angolo risultava uguale all’angolo formato dai raggi che uniscono il centro della Terra con le due città.

Eratostene sapeva inoltre dell’esistenza di una proporzionalità tra gli archi di una circonferenza e i rispettivi angoli al centro. Tutta la cinconferenza della Terra, che chiameremo per semplicità T, ha un angolo giro di 360 gradi, mentre l’arco di circonferenza che collega Siene con Alessandria, cioè la distanza tra le due città che chiameremo DSA, ha un angolo (\alpha) pari proprio ai 7 gradi misurati con il bastone da Eratostene. La proporzionalità tra i due archi coincide con quella tra gli angoli, in formule
$$ T:DSA=angolo giro:\alpha $$
Conoscendo la distanza tra le due città riuscì a calcolare la circonferenza della Terra, e successivamente anche il suo raggio R(circa 6000 km),
visto il legame dello stesso con la circonferenza e l’angolo.

Newton e la legge di gravitazione universale

Le dimensioni del pianeta erano già note ai tempi, come detto prima grazie ad Eratostene, ma non si conosceva a fondo l’interno della terra, per questa ragione non era nota la densità.
Conoscendo quella infatti risultava banale il calcolo della massa, bastava fare il prodotto tra la densità e il volume.

Ed ecco a voi la comparsa del genio di Newton con la sua famosissima legge di gravitazione universale.
Essa afferma che due corpi qualsiasi si attraggono l’un l’altro con una certa forza. Tale forza si ottiene moltiplicando le due masse, dividendo per il quadrato
della distanza che separa i due corpi e infine moltiplicando nuovamente per la costante di gravitazione universale G, in formule:

$$ F_g=G\frac{M_AM_B}{d^2} $$

L’effetto di tale forza sui due corpi viene espresso dalla seconda legge di Newton. Essa afferma infatti che se su un corpo agisce una forza, esso subisce una accelerazione pari alla forza diviso la massa del corpo
$$ a=\frac{F}{M} $$
Se la forza in questione è quella gravitazionale basta fare due conti per rendersi conto che l’accelerazione che subisce il corpo è indipendente dalla propria massa (M_A), dipende solo dalla massa (M_B) del corpo che lo attrae mediante la forza gravitazionale.

Se ad esempio vogliamo calcolare l’accelerazione che subisce il corpo A a causa della presenza del corpo B, non dobbiamo fare altro che dividere la forza gravitazionale per la massa del corpo A. Il risultato sarà G che moltiplica la massa del corpo B diviso la loro distanza al quadrato. Come vedete la massa di A sparisce nella formula finale
$$ a=G\frac{M_AM_B}{d^2}\frac{1}{M_A}=G\frac{M_B}{d^2} $$
Sfruttiamo queste considerazioni per fare un ragionamento importante sulla Terra. Due corpi che si trovano sulla sua superficie vengono attratti con la stessa forza, indipendentemente dalle loro masse.
Era noto dai tempi di Galileo che l’accelerazione di gravità che ogni corpo subisce in quanto si trova sulla superficie della Terra era pari a (9.8\frac{m}{s^2}).

Tale valore deriva dalla seguente formula
$$ g=G\frac{M_T}{d^2} $$
La distanza tra il corpo che si trova sulla superficie e il centro della terra, cioe d,è pari al raggio della terra, che è circa 6000 km. Utilizzando la formula appena enunciata, Newton riuscì a calcolare G che moltiplica la massa della Terra.
Non riuscì a trovare direttamente la massa perché la costante di gravitazione universale G a quei tempi non era nota.

Cavendish e la misura di G

Cavendish costruì quella che si chiama bilancia di torsione fatta da un’asta di legno con alle estremità due sferette di piombo. Vicino le due sferette posizionò due sfere di piombo con una notevole massa. Vista l’attrazione delle due sferette da parte delle sfere più pesanti, il braccio iniziò a ruotare, causando la torsione del filo.

Ad un certo punto il braccio cessa di ruotare, quando si ha un bilancio. Dopo una serie di calcoli, Cavendish riuscì a determinare un valore di densità della Terra pari a (5.48\frac{g}{cm^3}) e da questa trovò il seguente valore di G
$$ G=6,75\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2} $$
Ad oggi sappiamo che il valore di G e della massa della Terra sono
$$ G=6,67\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2} $$
$$ M_T=6\cdot10^{24} kg $$