Il paradosso dei due bambini

Venne proposto da Martin Gardner
sulle pagine del Scientific American. La formulazione è la seguente:
Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?

Intuitivamente, visto che uno dei due è maschio,
la probabilità che l’altro sia maschio è del 50%, in quanto sappiamo bene che una persona può essere o maschio o femmina.

Questa risposta ovviamente è errata. Come fece notare l’autore stesso, il quesito è posto in maniera ambigua. La risposta esatta infatti risulta del 33.3%.

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Prendiamo due bambini qualsiasi. E’ facile convincersi che si
possono verificare quattro casi:

Caso 1 : entrambi i bambini sono femmina;

Caso 2 : il primo bambino è maschio, il secondo femmina;

Caso 3 : il primo bambino è femmina, il secondo maschio;

Caso 4 : entrambi i bambini sono maschi

La prima ipotesi, entrambe femmine, nel nostro quesito non si può considerare, in quanto almeno uno dei due è maschio.

Sono rimaste dunque tre possibilità. L’unica che ci interessa è proprio quella dove abbiamo entrambi maschio, cioè il caso 4.

Abbiamo tre casi possibili e un solo caso risulta favorevole. La probabilità è dunque del 33.3%, cioè \(\frac{1}{3}\).

Un’altra formulazione….

Esiste una formulazione del problema dove invece la probabilità risulta proprio del 50%?. Ovviamente si!

Il signor Smith ha due bambini. Il primo è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?

In questo caso, dei quattro scenari trattati prima, solo il secondo e il quarto sono validi, cioè dove il primo bambino è maschio. Abbiamo dunque
due casi possibili e uno solo favorevole. Magicamente, adesso, la probabilità è del 50%.

Questo paradosso ci fa capire che molto spesso l’inganno sta proprio nell’esposizione del problema. Abbiamo visto infatti
che basta cambiare una semplice parola per cambiare totalmente il risultato finale.